如图①，已知正方形ABDE和正方形AGFC中，点B、A、C在一条直线上，点G在边AE上，连接BG、EC．（1）求证：BG=EC，BG⊥EC．（2）当正方形AGFC绕A点旋转到B、A、C三点不在同一条直线上时（如图②、

Question

如图①，已知正方形ABDE和正方形AGFC中，点B、A、C在一条直线上，点G在边AE上，连接BG、EC．

（1）求证：BG=EC，BG⊥EC．
（2）当正方形AGFC绕A点旋转到B、A、C三点不在同一条直线上时（如图②、图③），线段BG、EC又有怎样的关系？请写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
在△ABG和△AEC中，

AB＝AE

∠BAE＝∠GAC＝90°

AC＝AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABG+∠ACE=90°，
∴∠BHC=180°-90°=90°，
∴BG⊥EC；
（2）BG=EC，BG⊥EC．
证明：图②，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE-∠EAG=∠GAC-∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB＝AE

∠BAG＝∠EAC

AC＝AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
由三角形的内角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC；

图③，在正方形ABDE和正方形AGFC中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠GAC=90°，
∴∠BAE+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
即∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△AEC中，

AB＝AE

∠BAG＝∠EAC

AC＝AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=EC，∠ABG=∠AEC，
设BG的延长线交EC于H，
由三角形的内角和定理得，∠BHE=∠BAE=90°，
∴BG⊥EC．