某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)＝300+112x3−5x2+170x．每单位产品的价格是134元，求使利润最大时的产量．

Question

某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)＝300+(1)/(12)x3−5x2+170x．每单位产品的价格是134元，求使利润最大时的产量．

Answer 1

由题意，生茶x单位产品时，总收益R（x）=134x，
利润为：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+(1)/(12)x3−5x2+170x）
=-(1)/(12)x3+5x2-36x-300，其定义域为[0，+∞）．
L′（x）=−(1)/(4)x2+10x-36=-(1)/(4)(x−36)(x−4)，
令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，
又∵L(0)＝−300，L(4)＝−369(1)/(3)，L(36)＝996，
且当4＜x＜36时，L′（x）＞0，即L（x）单调递增；当x＞36时，L′（x）＜0，即L（x）单调递减．∴L（36）=996是L（x）的最大值．
因此工厂生产36单位产品时有最大利润996元．