二重积分(x的平方-2x+3y+2)dxdyD:x的平方+y的平方

Question

二重积分(x的平方-2x+3y+2)dxdy D:x的平方+y的平方<=a的平方,要画图

Answer 1

根据积分区域对称性可得
∫∫xdxdy=∫∫ydxdy=0
∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy
所以原式=∫∫[(1/2)(x^2+y^2)+2]dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy + 2∫∫dxdy
其中∫∫dxdy是D的面积
所以∫∫dxdy=πa^2
换元到极坐标
令x=rsinθ,y=rcosθ
则
∫∫(x^2+y^2)dxdy
=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^2 * r dr
=2π * (1/4)a^4
=πa^4/2
所以原式=πa^4/4 + 2πa^2