f(x)=|x-1|+……+|x-1000|f(x)=|x-1|+|x-2|……+|x-1000|定义域为[1,1000]求函数的值域,并指出x在最值处的取值

Question

f(x)=|x-1|+……+|x-1000|
f(x)=|x-1|+|x-2|……+|x-1000|
定义域为[1,1000]
求函数的值域,并指出x在最值处的取值

Answer 1

最小值在x=500时取得
f(x)=|x-1|+|x-2|……+|x-1000|=
|x-1|+|x-2|……+|x-500|+|501-x|+|502-x|……+|1000-x|
>=|(x-1)+(x-2)……+(x-500)+(501-x)+(502-x)……+(1000-x)|
=500*500=250000
此时x在[500,501]间取任意值
最大值在x=1或者x=1000的时候取得
此时f(x)=0+1+2+3+...+999=1000*999/2=499500
函数的值域为[250000,4995000]