若直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组kx-y+1≥0,kx-my≤0,y≥0表示的平面区域的面积是多少?

Question

若直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组kx-y+1≥0,kx-my≤0,y≥0表示的平面区域的面积是多少?

Answer 1

P,Q关于直线x+y=0对称,设P(a,b),则Q(-b,-a),a≠-b,
直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,
∴b=ak+1,①
-a=-bk+1,②
a^2+b^2+ak+bm-4=0,③
b^2+a^2-bk-am-4=0,④
①-②,(a+b)k=a+b,
③-④,(a+b)(k+m)=0,a+b≠0,
∴k=1,m=-1,
不等式组变为x-y+1>=0,x+y=0,表示△AOB及其内部,其中O(0,0),A(-1,0),B(-1/2,1/2),
这区域的面积=1/4.