已知椭圆C：x^2/2+y^2=1的左右焦点为F1,F2,下顶点为A,P是椭圆上任一点,圆M是以pF2为直径的圆（1）当圆M面积为八分之π时,求PA所在直线方程(2）当圆M与直线AF1相切时,求圆M方程

Question

已知椭圆C：x^2/2+y^2=1的左右焦点为F1,F2,下顶点为A,P是椭圆上任一点,圆M是以pF2为直径的圆
（1）当圆M面积为八分之π时,求PA所在直线方程 (2）当圆M与直线AF1相切时,求圆M方程

Answer 1

（1）、由π*r^2=π/8,可知：π*AF1^2=π/8,所以：PF2=√2/2.
由椭圆方程x^2/2+y^2=1,设p点坐标为：（√2cosa,sina）,又F2(1,0),
PF2^2=(√2cosa-1)^2+sin^2a,
所以：1/2=cos^2a-2√2cosa+2
化简：cos^2a-2√2cosa+3/2=0,解得：cosa=√2/2,或cosa=3√2/2（舍）
所以p点坐标为（1,√2/2）,又下顶点A（0,-1）.
于是可求得直线方程为：y=（2+√2）x/2-1
（2）、根据题意求得直线AF1方程为y+x+1=0.
设圆心坐标为（a,b),于是可得：圆心到直线距离与到F2点距离相等,且都等于r,
所以：（a+b+1)^2/2=(a-1)^2+b^2.(1)
又圆心为PF2中点,所以：x+1=2a,y+0=2b,化简：x=2a-1,y=2b.
代入椭圆方程得：(2a-1)^2+4b^2=1.(2)
连立（1）（2）解得：a=1/2,b=-1/2.于是解得：r=√2/2
于是圆的方程为：（x-1/2）^2+(y+1/2)^2=1/2