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已知椭圆C:x^2/2+y^2=1的左右焦点为F1,F2,下顶点为A,P是椭圆上任一点,圆M是以pF2为直径的圆(1)当圆M面积为八分之π时,求PA所在直线方程(2)当圆M与直线AF1相切时,求圆M方程
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已知椭圆C:x^2/2+y^2=1的左右焦点为F1,F2,下顶点为A,P是椭圆上任一点,圆M是以pF2为直径的圆
(1)当圆M面积为八分之π时,求PA所在直线方程 (2)当圆M与直线AF1相切时,求圆M方程
(1)当圆M面积为八分之π时,求PA所在直线方程 (2)当圆M与直线AF1相切时,求圆M方程
▼优质解答
答案和解析
(1)、由π*r^2=π/8,可知:π*AF1^2=π/8,所以:PF2=√2/2.
由椭圆方程x^2/2+y^2=1,设p点坐标为:(√2cosa,sina),又F2(1,0),
PF2^2=(√2cosa-1)^2+sin^2a,
所以:1/2=cos^2a-2√2cosa+2
化简:cos^2a-2√2cosa+3/2=0,解得:cosa=√2/2,或cosa=3√2/2(舍)
所以p点坐标为(1,√2/2),又下顶点A(0,-1).
于是可求得直线方程为:y=(2+√2)x/2-1
(2)、根据题意求得直线AF1方程为y+x+1=0.
设圆心坐标为(a,b),于是可得:圆心到直线距离与到F2点距离相等,且都等于r,
所以:(a+b+1)^2/2=(a-1)^2+b^2.(1)
又圆心为PF2中点,所以:x+1=2a,y+0=2b,化简:x=2a-1,y=2b.
代入椭圆方程得:(2a-1)^2+4b^2=1.(2)
连立(1)(2)解得:a=1/2,b=-1/2.于是解得:r=√2/2
于是圆的方程为:(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2
由椭圆方程x^2/2+y^2=1,设p点坐标为:(√2cosa,sina),又F2(1,0),
PF2^2=(√2cosa-1)^2+sin^2a,
所以:1/2=cos^2a-2√2cosa+2
化简:cos^2a-2√2cosa+3/2=0,解得:cosa=√2/2,或cosa=3√2/2(舍)
所以p点坐标为(1,√2/2),又下顶点A(0,-1).
于是可求得直线方程为:y=(2+√2)x/2-1
(2)、根据题意求得直线AF1方程为y+x+1=0.
设圆心坐标为(a,b),于是可得:圆心到直线距离与到F2点距离相等,且都等于r,
所以:(a+b+1)^2/2=(a-1)^2+b^2.(1)
又圆心为PF2中点,所以:x+1=2a,y+0=2b,化简:x=2a-1,y=2b.
代入椭圆方程得:(2a-1)^2+4b^2=1.(2)
连立(1)(2)解得:a=1/2,b=-1/2.于是解得:r=√2/2
于是圆的方程为:(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2
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