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1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2等于什么?
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1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2等于什么?
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答案和解析
1-2^2+3^2-4^2+5^2+…+(-1)^(n+1)·n^2
=1+(3-2)(2+3)+(5-4)(4+5)+…=1+2+3+4+5+…
所以,当n为偶数时,
1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2
=1+2+3+4+…+(n-1)-n^2
=n(n-1)/2-n^2=-n(n+1)/2
当n为奇数时,
1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2
=1+2+3+4+…+(n-1)+n
=n(n+1)/2
综上,1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2=(-1)^(n+1)·n(n+1)/2
=1+(3-2)(2+3)+(5-4)(4+5)+…=1+2+3+4+5+…
所以,当n为偶数时,
1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2
=1+2+3+4+…+(n-1)-n^2
=n(n-1)/2-n^2=-n(n+1)/2
当n为奇数时,
1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2
=1+2+3+4+…+(n-1)+n
=n(n+1)/2
综上,1-4+9-16+…+(-1)^(n+1)·n^2=(-1)^(n+1)·n(n+1)/2
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