各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项．

Question

各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有______项．

Answer 1

设a₁1，a₂2…，a_nn是公差为4的等差数列，
则a₁1²2+a₂2+a₃3+…+a_nn≤100，
即a12+((a1+4)+[a1+4(n−1)])/(2)•(n−1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=(1)/(7)（3-√(2816)）＜0，8＜n₂=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． a12+((a1+4)+[a1+4(n−1)])/(2)•(n−1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=(1)/(7)（3-√(2816)）＜0，8＜n₂=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． 12+((a1+4)+[a1+4(n−1)])/(2)•(n−1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=(1)/(7)（3-√(2816)）＜0，8＜n₂=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． 2+((a1+4)+[a1+4(n−1)])/(2)(a1+4)+[a1+4(n−1)](a1+4)+[a1+4(n−1)](a1+4)+[a1+4(n−1)]1+4)+[a1+4(n−1)]1+4(n−1)]222•(n−1)≤100，
a₁1²2+（n-1）a₁1+（2n²2-2n-100）≤0，
因此，7n²2-6n-401≤0，
解得 n₁1≤n≤n₂2，
其中n₁1=(1)/(7)（3-√(2816)）＜0，8＜n₂=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． (1)/(7)111777（3-√(2816)）＜0，8＜n₂=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． √(2816)

2816

28162816）＜0，8＜n₂2=(3+√(2816))/(7)＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8． (3+√(2816))/(7)3+√(2816)3+√(2816)3+√(2816)

2816

28162816777＜9，
所以自然数n的最大值为8．故这样的数列至多有8项．
故答案为：8．