已知一公差不为0无穷的等差数列{an},其前三项的和等于6,如果将其前三项做适当排列,则这三项又可以成为等比数列.且数列{an}是递增数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}的通项公式

Question

已知一公差不为0无穷的等差数列{an},其前三项的和等于6,如果将其前三项做适当排列,则这三项又可以成为
等比数列.且数列{an}是递增数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的通项公式是bn=3的n次方,数列{Cn}=anbn,数列{Cn}是等差数列或等比数列吗?说明理由
（3）在（2）的条件下,若不等式C（n+1）-λCn>0对任意n属于N+恒成立,求实数λ的取值范围.

Answer 1

(1)设公差为d,这三项公比为q.（d＞0,q≠0））λ
a1+a2+a3=3a2=6,得a2=2,a1+a3=4,a1＜2＜a3.
这三项排列的方式可能有：
1.a1、a2、a3,2.a1、a3、a2,3.a2、a1、a3,4.a2、a3、a1.5.a3、a1、a2.6.a3、a2、a1.
其中：1、3、5、6可能组成等比数列.
若q∈（0,1）,则6可能成立,从而有a2²=a1×a3=4.
再结合a1+a3=4,解得a1=a3=2,不符d＞0.
若q∈（1,+∞）,则1可能成立,从而有a2=a1×a3=4,同上,不存在.
若q∈（-∞,0）,则3、5可能成立,从而有a1²=a2×a3=2a3.
再结合a1+a3=4,解得a1=2或a1=-4,又q＜0,得a1=-4,a3=8.
∴d=a2-a1=6,an=a1+（n-1）d=6n-10.
综上,an的通项公式为an=6n-10.
（2）代入an、bn,得cn=2（3n-5）3ⁿ.
c（n+1)-cn=2（6n-1）3ⁿ,不为常数,故cn不等差.
c（n+1）/cn=（3n-5）/（3n-2）=1-3/（3n-2）不为常数,故cn不等比.
综上,cn不为等比数列也不为等差数列.
（3）
法一：c（n+1）-λCn＞0,得2×3（3n-2）3ⁿ-2×λ（3n-5）3ⁿ=0
整理得3（3n-2）-λ（3n-5）＞0,令f（n）=3（3n-2）-λ（3n-5）.
f'（n）=9-3λ=3（3-λ）,f（1）=3+2λ.
若λ=3,则f（n）=f（1）=8＞0,成立.
若λ＞3,则f‘（n）＜0,得f（n）递减,故总有一个n的值使f（n）＜0,不成立.
若-3/2＜λ＜3,则f’（n）＞0,得f（n）递增,f（n）＞f（1）＞0,成立.
若λ≤-3/2,则f（1）＜0,不成立.
综上,λ∈（-3/2,3]时,命题成立.
法二：上面得出3（3n-2）-λ（3n-5）＞0,变形得（3n-5）λ＜3（3n-2）.
当n=1时,得λ＞-3/2.
当n≥2时,（3n-5）＞0,从而有λ＜3（3n-2）/（3n-5）=3+9/（3n-5）
3+9/（3n-5）递减,故n趋近于+∞时3+9/（3n-5）趋近于3..
于是λ≤3＜3+9/（3n-5）.
综上,λ∈（-3/2,3]时,命题成立.