用正交变换化二次型f(x1,x2)=5x1^2+2x2^2+4x1x2为标准型.希望过程能够详细一些,特别是特征值的部分.

Answer 1

二次型的矩阵 A =
5 2
2 2
|A-λE|=(5-λ)(2-λ)-4 = λ^2-7λ+6 = (λ-1)(λ-6)
所以 A 的特征值为1,6
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,-2)'
(A-6E)x=0 的基础解系为 a2=(2,1)'
单位化得
b1=(1/√5,-2/√5)'
b2=(2/√5,1/√5)'
令 P = (b1,b2) =
1/√5 2/√5
-2/√5 1/√5
则P是正交矩阵,Y=PX 为正交变换,使
f = y1^2 + 6y2^2
这类大题最好多少加点悬赏