双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（）A.[42-4，4）B.[42−4，2]C.(42−4，2)D.[42−4，2)

Question

双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（　　）
A. [4√(2)-4，4）
B. [4√(2)−4，2]
C. (4√(2)−4，2)
D. [4√(2)−4，2)

Answer 1

∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，
∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c
在双曲线中，a²+b²=c²，
∴a²+b²+2ab-2ab=c²，即（a+b）²-2ab=c²，
∴（4-c）²-2ab=c²，ab=((4−c)2−c2)/(2)
∵a＞0，b＞0，∴ab≤((a+b)/(2))2=((4−c)2)/(4)
即((4−c)2−c2)/(2)≤((4−c)2)/(4)，化简得，c²+8c-16≥0
解得，c≥4√(2)-4，或c≤-4√(2)-4
又∵a²+b²=c²，
∴c＜a+b，
∴2c＜a+b+c=4，c＜2
∴半焦距c的取值范围是[4√(2)-4，2）
故选D