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双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是()A.[42-4,4)B.[42−4,2]C.(42−4,2)D.[42−4,2)
题目详情
双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是( )
A. [4
-4,4)
B. [4
−4,2]
C. (4
−4,2)
D. [4
−4,2)
A. [4
2 |
B. [4
2 |
C. (4
2 |
D. [4
2 |
▼优质解答
答案和解析
∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,
∴2a+2b+2c=8,a+b+c=4,∴a+b=4-c
在双曲线中,a2+b2=c2,
∴a2+b2+2ab-2ab=c2,即(a+b)2-2ab=c2,
∴(4-c)2-2ab=c2,ab=
∵a>0,b>0,∴ab≤(
)2=
即
≤
,化简得,c2+8c-16≥0
解得,c≥4
-4,或c≤-4
-4
又∵a2+b2=c2,
∴c<a+b,
∴2c<a+b+c=4,c<2
∴半焦距c的取值范围是[4
-4,2)
故选D
∴2a+2b+2c=8,a+b+c=4,∴a+b=4-c
在双曲线中,a2+b2=c2,
∴a2+b2+2ab-2ab=c2,即(a+b)2-2ab=c2,
∴(4-c)2-2ab=c2,ab=
(4−c)2−c2 |
2 |
∵a>0,b>0,∴ab≤(
a+b |
2 |
(4−c)2 |
4 |
即
(4−c)2−c2 |
2 |
(4−c)2 |
4 |
解得,c≥4
2 |
2 |
又∵a2+b2=c2,
∴c<a+b,
∴2c<a+b+c=4,c<2
∴半焦距c的取值范围是[4
2 |
故选D
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