设f(x,y)在区域D上连续,其中区域D={(x,y)|x≤y≤√2Rx-x^2,R>0}则二重积分∫∫f(x,y)dxdy化为极坐标下的累次积分为这个我还是不太会算

Question

设f(x,y)在区域D上连续,其中区域D={(x,y)|x≤y≤√2Rx-x^2,R>0}则二重积分∫∫f(x,y)dxdy化为极坐标下的累次积分为 这个我还是不太会算

Answer 1

先把图形画出来,D由直线y＝x与第一象限的圆周y＝√2Rx-x^2围成,面积小的那一部分.
接下来把直线与圆的方程转化为极坐标方程,分别是θ＝π/4,ρ＝2Rcosθ.
考虑θ与ρ的范围：D夹在射线θ＝π/4与θ＝π/2之间,θ的积分限是π/4到π/2.原点在D的边界上,所以ρ的积分下限是0,从原点作射线,与D的边界的交点在圆上,所以ρ的积分上限是2Rcosθ.
再有面积元素dxdy＝ρdρdθ,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ.剩下的就是照本宣科的写出累次积分了