如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G，H，试求BG：GH：HF．

Question

如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G，H，试求BG：GH：HF．

Answer 1

过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点，
∴FM是△AEC中位线，
∴MF=(1)/(2)CE，CE=2FM，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4FM，
∵FM∥BC，
∴△FMH∽△BEH，
∴(FH)/(BH)=(FM)/(BE)=(1)/(4)，
∵FN是△ADC的中位线，
∴FN=(1)/(2)CD=CE=BD，
∵FN∥BC，
∴△FNG∽△BDG，
∴(BG)/(GF)=(BD)/(FN)=(1)/(1)，
∴BG=GF，
∵(FH)/(BH)=(1)/(4)，
∴(FH)/(BF)=(1)/(5)，
∴FH=(1)/(5)BF，
∵BG=(1)/(2)BF，HF=(1)/(5)BF，
∴GH=GF-HF=(1)/(2)BF-(1)/(5)BF=(3)/(10)BF，
∴BG：GH：HF=（(1)/(2)BF）：（(3)/(10)BF）：（(1)/(5)BF）=5：3：2．