高中文数三角形面积、不等式问题.1.在△ABC中,AB=4√3,AC=2√3,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则△的面积是?2.若直线ax+by+1=0(a＞0,b＞0)将圆x²+y²+2x+2y=0恰好平分,则2/a+1/b的最小值为?

Question

高中文数三角形面积、不等式问题.
1.在△ABC中,AB=4√3,AC=2√3,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则△的面积是?
2.若直线ax+by+1=0(a＞0,b＞0)将圆x²+y²+2x+2y=0恰好平分,则2/a+1/b的最小值为?

Answer 1

1.在△ABC中,AB=4√3,AC=2√3,AD为BC边上的中线,且∠BAD=30°,则△的面积是?
D是 BC边上的中点,所以 S△ABD = S△ACD ,即
AB×AD×sin30°/2 = AC×AD×sin∠CAD / 2
代入数值可得：sin∠CAD ＝ 1 ===> ∠CAD = 90°===> ∠A = 120°
S△ABC = AB×AC×sin120°/ 2 = 6√3
补充：
辅助线做法对于△有中线也不错：方法两种：向外构造全等△-------楼上都是
从D向AB中点连线构造中位线,
2.若直线ax+by+1=0(a＞0,b＞0)将圆x²+y²+2x+2y=0恰好平分,则2/a+1/b的最小值为?
直线将圆恰好平分,直线必定经过圆心,即圆心在直线上.
圆 x² + y² + 2x + 2y = 0 ===> (x+1)² + (y+1)² = 2 ===> 圆心为 (-1,-1),半径√2
所以 a*(-1) + b*(-1) + 1 = 0 ===> a + b = 1
设 a = cos²α b = sin²α
则 2/a + 1/b = 2sec²α + csc²α = 2 + 1 + 2tan²α + 1/tan²α ≥3 + 2√(2 * 1) = 3 + 2√2
答案：2/a+1/b 的最小值为 3+2√2
补充：基本不等式属于柯西不等式的特例,但往往用三角函数更容易理解些
更一般地：M/a + N/b = Msec²α + Ncsc²α = M + N + Mtan²α + N/tan²α.
≥ M + N + 2√(M * N)