已知向量a,b,且a≠0,b≠0.当向量a+tb(t∈R)的模为最小时,求t的值,并证明b与a+tb垂直.

Question

已知向量a,b,且a≠0,b≠0.当向量a+tb(t∈R)的模为最小时,求t的值,并证明b与a+tb垂直.

Answer 1

怎么我的作业里也有这道题?
（以下省略向量标识）
|a+tb|²=a²+t²b²+2ta·b
=|b|²(t²+2t*a·b/|b|²)+a²
=|b|²(t+a·b/|b|²)²+a²-(a·b)²/|b|²
故当t=-a·b/|b|²时|a+tb|²有最小值,即|a+tb|有最小值.
此时a·b+t|b|²=0,即b·(a+tb)=0,亦即b⊥(a+tb).得证.