根据此微分方程的特点,写出其通解的形式（特解以待定系数的形式给出）y''-y'=2x-1-3e^x

Question

根据此微分方程的特点,写出其通解的形式（特解以待定系数的形式给出） y''-y'=2x-1-3e^x

Answer 1

此微分方程的特征方程为rr-r=0,特征方程的根为r=0及r=1
所以,此微分方程对应的齐次方程的通解Y=C1+C2e^x
此微分方程的右边的函数f（x）需分成两个,即f（x）=f1（x）+f2（x）
其中f1（x）=2x-1,f2（x）= -3e^x
针对f1（x）的方程y''-y'=2x-1设出特解y1*,针对f2（x）的方程y''-y'= -3e^x设出特解y2*,则
原微分方程的特解y*=y1*+y2*
而y1*=（ax+b）x,y2*=cxe^x
所以原微分方程的通解y=Y+y*= [C1+C2e^x] + [（ax+b）x+ cxe^x ] .