解道函数题.已知f(x)=e^X-e^(-x),若任意x》0,都有f(x)》ax,求a的范围答案是a《2,要求用a《f(x)/x做,

Question

解道函数题.已知f(x)=e^X-e^(-x),若任意x》0,都有f(x)》ax,求a的范围
答案是a《2,要求用a《f(x)/x 做,

Answer 1

【楼上回答者90yuanpeng的解答是错误的 】
首先,x→+∞时 ,f(x)/x 根本不是以2为极限,而是无穷大.而当 x→0 时,才有f(x)/x →2 .
其次,即便当 x→0 时有f(x)/x →2 ,也无法推出 2 是函数 f(x)/x 的下确界.因为极限过程“并不保证”对于“每一个”大于0的x ,都有 f(x)/x >2 .举一个例子,考察一个定义在区间 [-1,1] 上的函数: x^2 ,当x→1/2时,x^2→1/4,但是,区间 [-1,1] 上的每一个点并不都有 x^2>1/4 .极限与大小关系根本就没有什么必然的联系!
【正确的解法如下】
由题目意思可以知道,x是正数,所以
f(x)>ax => a函数e^x按泰勒级数展开为:
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+··· ,
则 e^(-x)=1-x+x^2/2!-x^3/3!+··· ,
那么有 e^x-e^(-x)=2x+2(x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+···) .
若设 y=f(x)/x ,有
y=[e^x-e^(-x)]/x=2+2(x^2/3!+x^4/5!+x^6/7!+···)
很明显,对于任意的 x>0 ,恒成立：x^2/3!+x^4/5!+x^6/7!+···>0 .也就是说对于任意的 x>0 ,y>2 恒成立.
再由题目已知条件,即对于任意的 x>0 ,满足a所以必然有：a≤2