第二型曲线积分∫(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy,其中C为曲线y=1-|1-x|(0

Question

第二型曲线积分
∫(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy,其中C为曲线y=1- |1-x|(0

Answer 1

首先第二型曲线积分中的积分曲线是有方向的,而你的题目里没有,我就默认是逆时针方向了.用格林公式计算,为此补充曲线C'：x轴上0到2一段,则C和C'构成闭曲线,其所围区域为以(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形.令P=x^2+y^2,Q=x^2-y^2,则Q'x=2x,P'y=2y,根据格林公式,沿C+C‘的曲线积分=∫∫(Q’x-P'y)dxdy=2∫∫(x-y)dxdy=2∫dy∫(x-y)dx（x积分限y到2-y,y积分限0到1）=4/3,再计算沿C'的积分,由于此时y=0,dy=0,故积分=∫x^2dx（积分限0到2）=8/3,故所求沿C的积分=4/3-8/3=-4/3.