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求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM2+BN2=AB2+MN2．求证：4（AM2+BN2）=5AB2
题目详情
求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM2+BN2=AB2+MN2．
求证：4（AM2+BN2）=5AB2．
求证：4（AM2+BN2）=5AB2．
▼优质解答
答案和解析
证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，
∴MN∥AB且MN=
AB
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以4（AM2+BN2）=4AB2+4MN2．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=
AB．
所以4MN2=AB2．
∴4（AM2+BN2）=5AB2．
证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，∴MN∥AB且MN=
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AM2+BN2=AB2+MN2，
所以4（AM2+BN2）=4AB2+4MN2．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=
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所以4MN2=AB2．
∴4（AM2+BN2）=5AB2．
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