求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM2+BN2=AB2+MN2．求证：4（AM2+BN2）=5AB2

Question

求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM²+BN²=AB²+MN²．
求证：4（AM²+BN²）=5AB²．

Answer 1

证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，
∴MN∥AB且MN=(1)/(2)AB
AM²+BN²=AB²+MN²，
所以4（AM²+BN²）=4AB²+4MN²．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=(1)/(2)AB．
所以4MN²=AB²．
∴4（AM²+BN²）=5AB²．