如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）求证：DF=DE；（2）连接EF，若BE=8，CF=6，求△DEF的面积．

Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）求证：DF=DE；
（2）连接EF，若BE=8，CF=6，求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AD．
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠BAC=90°，
∴AD=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF，
∴∠CDF=∠ADE，
在△CDF和△ADE中

∠C=∠DAE

CD=AD

∠CDF=∠ADE

，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF=DE．

（2）连接EF．由（1）知，AE=CF=6，同理AF=BE=8   
∵∠EAF=90°
∴EF=√(AE2+AF2)=√(62+82)=10，
∵DE=DF，DE⊥DF
∴△DEF为等腰三角形
∴DE²+DF²=EF²=100
∴DE=DF=5√(2)，
∴S_△DEF=(1)/(2)•（5√(2)）²=25．