如图，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．（1

Question

如图，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．
（1）求线段AG（用x表示）；
（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围．

Answer 1

（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴(EF)/(BC)＝(AG)/(AD)，
∴(x)/(4)＝(AG)/(3)，AG＝(3)/(4)x．
（2）当点P在四边形BCFE的内部或BC边上时，如图1过点P作PH⊥EF于H，
∵等腰直角三角形PEF，
∴PH=(1)/(2)x，
∴y=(1)/(2)EF×PH＝(1)/(4)x2．
∵PH≤DG，(1)/(2)x≤3−(3)/(4)x，0＜x≤(12)/(5)．
当点P在四边形BCFE的外部时，如图2，
过点P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理得PH=(1)/(2)x，
∵EF∥BC，
∴∠KHG=∠HKD=90°，
∴四边形HGDK为矩形，
∴HK=DG=3-(3)/(4)x，
∴PK=(1)/(2)x−(3−(3)/(4)x)＝(5)/(4)x−3，
∵EF∥BC，
∴△PMN∽△PEF，
∴(PM)/(PE)＝(PN)/(PF)，
∴△PMN为等腰直角三角形．
∴S_△PMN=(1)/(2)MN×PK=PK²=((5)/(4)x−3)2＝(25)/(16)x2−(15)/(2)x+9，
∴y＝(1)/(4)x2−((25)/(16)x2−(15)/(2)x+9)＝−(21)/(16)x2+(15)/(2)x−9，
∵PH＞DG，
(1)/(2) x＞3−(3)/(4)x，x＞(12)/(5)
∴(12)/(5)＜x＜4．