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已知f(x)=lg1-x/1+x,a,b属于(-1,1),求证f(a)+f(b)=f(a+b/1+ab)
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已知f(x)=lg1-x/1+x,a,b属于(-1,1),求证f(a)+f(b)=f(a+b/1+ab)
▼优质解答
答案和解析
f(a)+f(b)
=lg(1-a)/(1+a)+lg(1-b)/(1+b)
=lg[(1-a)/(1+a)*(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)]
f(a+b/1+ab)
=lg{[1-(a+b)/(1+ab)]/[1+(a+b)/(1+ab)]}
[1-(a+b)/(1+ab)]/[1+(a+b)/(1+ab)]
=[(1+ab-a-b)/(1+ab)]/[(1+ab+a+b)/(1+ab)]
=(1+ab-a-b)/[(1+ab+a+b)
=[(1-a)-b(1-a)]/[(1+a)+b(1+a)]
=(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)
所以f(a+b/1+ab)
=lg[(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)]
=f(a)+f(b)
=lg(1-a)/(1+a)+lg(1-b)/(1+b)
=lg[(1-a)/(1+a)*(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)]
f(a+b/1+ab)
=lg{[1-(a+b)/(1+ab)]/[1+(a+b)/(1+ab)]}
[1-(a+b)/(1+ab)]/[1+(a+b)/(1+ab)]
=[(1+ab-a-b)/(1+ab)]/[(1+ab+a+b)/(1+ab)]
=(1+ab-a-b)/[(1+ab+a+b)
=[(1-a)-b(1-a)]/[(1+a)+b(1+a)]
=(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)
所以f(a+b/1+ab)
=lg[(1-a)(1-b)/(1+a)(1+b)]
=f(a)+f(b)
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