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如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.

题目详情
如图所示,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.

(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)直线BD和⊙O相切(1分)
证明:∵∠AEC=∠ODB,∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB(2分)
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°(3分)
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°(4分)
∴直线BD和⊙O相切.(5分)
(2)连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°(6分)
在Rt△ABC中,AB=10,BC=8
AC=
AB2−BC2
=6
∵直径AB=10
∴OB=5.(7分)
由(1),BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°(8分)
∴∠ACB=∠OBD=90°
由(1)得∠ABC=∠ODB,
∴△ABC∽△ODB(9分)
AC
OB
BC
BD

6
5
8
BD
,解得BD=
20
3
.(10分)
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