如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

（1）直线BD和⊙O相切（1分）
证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴AC＝√(AB2−BC2)＝6
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴(AC)/(OB)＝(BC)/(BD)
∴(6)/(5)＝(8)/(BD)，解得BD=(20)/(3)．（10分）