已知数列{an}中,a1=2点(an,an＋1)在直线y=2x＋1上.(1)求数列｛an｝的通项公式﹔(2)证明﹕1∕1﹢a1﹢1∕1﹢a2﹢…﹢1∕1﹢an

Question

已知数列{an}中,a1=2点(an,an＋1)在直线y=2x＋1上.(1)求数列｛an｝的通项公式﹔(2)证明﹕1∕1﹢a1﹢1∕1﹢a2﹢…﹢1∕1﹢an

Answer 1

(1) 由题,可得a(n+1)=2*a(n)+1
a(n+1)+1=2*(a(n)+1) 出现等比数列
a(n)+1=2*(a(n-1)+1)=2^2*(a(n-2)+1)=...=2^(n-1)*(a(1)+1)=3*2^(n-1)
所以a(n)=3*2^(n-1)-1.
(2) 原式=(1/3)*(1/1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)) 代入
=(1/3)*(1*(1-1/2^n)/(1-1/2)) 等比数列求和
=(2/3)*(1-1/2^n)