已知两正数a,b,满足a+b=1,求:(a+1/a)(b+1/b)的最小值应用均值定理,答案是25/4,

Question

已知两正数a,b,满足a+b=1,求:(a+1/a)(b+1/b)的最小值
应用均值定理,答案是25/4,

Answer 1

(a+1/a)(b+1/b)
=(a²+1)(b²+1)/ab
=(a²b²+a²+b²+1)/ab
=[a²b²+a²+b²+(a+b)²]/ab
=[a²b²+2(a²+b²)+2ab]/ab
=ab+2(a/b+b/a)+2
≥ab+2*[2√(a/b*b/a)]+2
=ab+6
等号当且仅当a/b=b/a,即a=b=1/2时成立,则
(a+1/a)(b+1/b)≥ab+6=1/2*1/2+6=25/4.
所以：(a+1/a)(b+1/b)最小值为25/4.
注：均值不等式为：对于正数x、y有：x+y≥2√xy,由(√x-√y)²≥0展开即得.