△ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c,asinAsinB+bcos^2A=根号下2a 若c2=b2+根号3*a2,求B最好给出最后求出B的数值 因为我实在是求不出来。我求的是根号下（4分之根号下3再+1）

Question

△ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c,asinAsinB+bcos^2A=根号下2a 若c2=b2+根号3*a2,求B
最好给出最后求出B的数值 因为我实在是求不出来。我求的是根号下（4分之根号下3再+1）

Answer 1

△ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c,asinAsinB+bcos²A=(√2)a,若c²=b²+(√3)a²,求B
asinAsinB+bcos²A=asinAsinB+b(1-sin²A)=sinA(asinB-bsinA)+b=(√2)a
由正弦定理可知：a=2RsinA,b=2RsinB,代入上式得：
(√2)a-b=sinA(2RsinAsinB-2RsinBsinA)=0,故a/b=1/√2=√2/2；
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=b²+(√3)a²
于是得(1-√3)a²-2abcosC=0,cosC=[(1-√3)/2](a/b)=[(1-√3)/2](√2/2)=(√2/2)(1/2)-(√2/2)(√3/2)
=cos45°cos60°-sin45°sin60°=cos(45°+60°)=coa105°,故C=105°；
于是sinC=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=(√2/4)(1+√3)
将a=(√2)b/2代入c²=b²+(√3)a²=b²+(√3)(b²/2)=[(2+√3)/2]b²
∴b/c=√[2/(2+√3)]=√[2(2-√3)]
sinB=(b/c)sinC=√[2(2-√3)][(√2/4)(1+√3)]=[√(2-√3)](1+√3)]/2=√[4-2√3)/2](1+√3)/2
=√[√3-1)²/2](1+√3)/2=(√3-1)(1+√3)/2√2=2/2√2=1/√2=√2/2
∴B=45°(因为前面已求出C=105°,故B不可能再是钝角.)