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线性代数：设B为可逆矩阵,A、B为同阶方阵,且满足A＾2＋AB＋B＾2＝0,试证明A与A＋B都可逆.
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线性代数：设B为可逆矩阵,A、B为同阶方阵,且满足A＾2＋AB＋B＾2＝0,试证明A与A＋B都可逆.
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答案和解析
原式右乘B的逆得A+B=-A^2*(B的逆)
原式写成A(A+B)=-B^2……（1）代入上式得A^3=B^3
两边同时右乘B^(-3)得A(A^2*B^(-3))=E
故A可逆且A的逆为A^2*B^(-3)
（1）两边同时左乘-B^(-2)得A+B可逆,其逆为-B^(-2)A
原式写成A(A+B)=-B^2……（1）代入上式得A^3=B^3
两边同时右乘B^(-3)得A(A^2*B^(-3))=E
故A可逆且A的逆为A^2*B^(-3)
（1）两边同时左乘-B^(-2)得A+B可逆,其逆为-B^(-2)A
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