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设A,B,C,D是任意的集合.证明（A交B）×（C交D）=（A×C）交（B×D）
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设A,B,C,D是任意的集合.证明（A交B）×（C交D）=（A×C）交（B×D）
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答案和解析
设﹙x,y﹚∈（A∩B）×（C∩D）,说明x∈A∩B.y∈C∩D
∵x∈A,y∈C ∴﹙x,y﹚∈A×C
∵x∈B,y∈CD ∴﹙x,y﹚∈B×D 得到 ﹙x,y﹚∈（A×C）∩（B×D）
反过来,如果﹙x,y﹚∈（A×C）∩（B×D）
∵﹙x,y﹚∈（A×C）∴x∈A,y∈C
∵﹙x,y﹚∈（B×D）∴x∈B y∈D
∴x∈A∩B y∈C∩D ﹙x,y﹚∈（A∩B）×（C∩D）,
∴（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）
∵x∈A,y∈C ∴﹙x,y﹚∈A×C
∵x∈B,y∈CD ∴﹙x,y﹚∈B×D 得到 ﹙x,y﹚∈（A×C）∩（B×D）
反过来,如果﹙x,y﹚∈（A×C）∩（B×D）
∵﹙x,y﹚∈（A×C）∴x∈A,y∈C
∵﹙x,y﹚∈（B×D）∴x∈B y∈D
∴x∈A∩B y∈C∩D ﹙x,y﹚∈（A∩B）×（C∩D）,
∴（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）
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