已知a,b是两个非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角

Question

已知a,b是两个非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角

Answer 1

设向量a与b的夹角 为@
a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直
(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0
有7|a|^2-15|b|^2+16ab=0 （1）
7|a|^2+8|b|^2-30ab=0 （2）
两式相减得23|b|^2-46ab=0
|b|^2=2|a||b|cos@
|b|=2|a|cos@(此时有cos@>0)
|a|=|b|/2cos@
代入（1）式有：7|b|^2/4(cos@)^2-15|b|^2+8|b|^2=0
有1/4(cos@)^2=1,cos@=1/2
@=60度