若f(x＋y)=f(x)f(y)＋f(x)＋f(y).则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)=尽量答得详细准确

Question

若f(x＋y)=f(x)f(y)＋f(x)＋f(y).则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)=
尽量答得详细准确

Answer 1

那个,你的题目是不是少了一些限定条件啊?如果不加限定条件的话,此题有无数解.如果加限定条件,则答案可能是-2012或0等特殊值.下面是解答过程（按不限定条件解答）.由已知可得：f(0+0)=f(0)f(0)+f(0)+f(0) 0=f(0)f(0)+f(0) 解得：f(0)=-1,或f(0)=0 ① 当f(0)=-1时,f(x+0)=f(x) f(0)+f(x)+f(0) 即有：f(x)=-1 即任意f(x)=-1 即f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)=-2012 ② 当f(0)=0时,f(x+0)=f(x) f(0)+f(x)+f(0) 即有：f(x)=f(x) 可见上面是一句废话,f(0)的取值对f(x)在上式中无影响.于是我们转变解题方向.由于题目所求x∈N,所以我们姑且暂时把定义域缩小至N.则有f(x+1)=f(x) f(1)+f(x)+f(1) 这里我们暂时设f(1)=Q,则有：f(x+1)= Q f(x) +f(x)+Q 等式两边同时加1可得：f(x+1)+1= (Q+1)[ f(x) +1] 这里我们把f(x) +1看成一个整体,设为数列ax.那么该数列为以Q+1为公比的等比数列.（不认为Q=-1,当Q=-1时,问题可转换为①的情况） 可得：f(x) +1=[f(1) +1]×(Q+1)^(x-1) f(x) +1= [Q +1]×(Q+1)^(x+1)= (Q+1)^x 所以f(x)= (Q+1)^x -1 接下来就是检验了：f(x＋y)= (Q+1)^(x+y) -1 而f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)= [(Q+1)^x -1][ (Q+1)^y -1]+ (Q+1)^x -1+ (Q+1)^y -1 f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)= (Q+1)^(x+y)- (Q+1)^x - (Q+1)^y +1+ (Q+1)^x -1+ (Q+1)^y -1 f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)= (Q+1)^(x+y) -1 所以f(x＋y)= f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)检验成立.也就是说：f(x)的解析式f(x)= (Q+1)^x -1是对的.f(x)的解析式取决于f(1)的值（其实只要确定除了f(0)之外的任意一值即可） 所以当f(0)=0时,解有无数个.