等腰梯形的在等腰梯形ABCD中,AD平行于BC,（AD在上面）AB=DC=5,AD=4,BC=10,点E在下底边BC上,点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示三角形BEF的面积（2）是否存

Question

等腰梯形的
在等腰梯形ABCD中,AD平行于BC,（AD在上面）AB=DC=5,AD=4,BC=10,点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示三角形BEF的面积
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长；若不存在,请说明理由
（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1比2的两部分?若存在,求出此时BE的长；若不存在,请说明理由

Answer 1

因 EF平分等腰梯形ABCD的周长,BE=x
所以 BF=12-x
而 BF=12-x<=AB=5
BE=x<=BC=10
所以12-x<=5
x<=10
即7<=x<=10
又因 等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10
从A,D分别做垂线交BC于G,H
则GH=4,BG=3,CH=3
直角三角形AGB中AB=5,BG=3
所以AG=4
所以sin角B=AG/AB=4/5
则三角形BEF中,由F做垂线交BE于I
那么sin角B=高/BF=高/(12-x)=4/5
所以高=4(12-x)/5
所以三角形BEF的面积=高*BE/2=2(12-x)x/5
三角形BEF的面积=2(12-x)x/5
范围7<=x<=10