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证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵U,使A=U'U
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证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵U,使A=U'U
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答案和解析
如果A=U'U,则A'=(U'U)'=U'U=A,故A是对称的,对任意非零x,由U可逆,Ux也非零,由
x'Ax=x'U'Ux=(Ux)'(Ux)>0,故A是正定矩阵.充分性得证.
如果A为对称正定矩阵,则它可以进行LL'分解,即存在下三角阵L使得A=LL',令U=L',即得A=U'U,必要性得证.
x'Ax=x'U'Ux=(Ux)'(Ux)>0,故A是正定矩阵.充分性得证.
如果A为对称正定矩阵,则它可以进行LL'分解,即存在下三角阵L使得A=LL',令U=L',即得A=U'U,必要性得证.
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