x²/√(x²-a²)dx令u=x²-a²,得du=2xdx,∫x²/√(x²-a²)dx=∫(u+a²)/(√u*2x)du=(∫√udu)/2x+(a²/2x)(∫1/√udu)=u^(2/3)/3x+(a²√u)/x可以这样代换的吗?x没有完全替换掉也

Question

x² / √(x²-a²) dx
令u=x²-a²,得du=2xdx,∫x² / √(x²-a²) dx=∫(u+a²)/(√u*2x) du
=(∫√u du)/2x+(a²/2x)(∫1/√u du)
=u^(2/3)/3x+(a²√u)/x
可以这样代换的吗?x没有完全替换掉也可以?

Answer 1

这样是不可以的.这样x,u都是变量了.可以令x=a*secu,则√(x²-a²)=a*tanu,dx=a*sinu*cos²u∫ x² / √(x²-a²) dx =∫a²cosudu=a²sinu+csinu=[√(x²/a²-1)]/(x/a)= ...