无穷小的比较题目f(x)满足x→0时limf(x)/(1-cosx)=1的连学函数,且x→0时∫下限0到上限(sinx)^2积分f(t)dt是x的n阶无穷小,求n.(n=6)

Question

无穷小的比较题目
f(x)满足x→0时limf(x)/(1-cosx)=1的连学函数,且x→0时∫下限0到上限(sinx)^2积分f(t)dt是x的n阶无穷小,求n.(n=6)

Answer 1

因为f(x)连续
1-cosx在[0,(sinx)^2]上保号
利用积分中值定理
存在α∈[0,(sinx)^2]使得
∫f(t)dt
=∫[f(t)/(1-cost)*(1-cost)]dt
=f(α)/(1-cosα)∫(1-cost)dt
=f(α)/(1-cosα)((sinx)^2-sin[(sinx)^2])
α∈[0,(sinx)^2] 当x→0时 α→0
所以f(α)/(1-cosα)→1
设sinx=t x→0时 t→0
(sinx)^2-sin[(sinx)^2])
=t-sint
=t-(t-t^3/6+t^3的高阶无穷小)
=t^3/6+t^3的高阶无穷小
因为t=(sinx)^2和x^2是同阶无穷小
所以∫下限0到上限(sinx)^2积分f(t)dt是x的6阶无穷小
即n=6