设实数a,b,c满足a^2-bc-8a+7=0且b^2+c^2+bc-6a+6=0,求a的取值范围

Question

设实数a,b,c满足a^2-bc-8a+7=0且b^2+c^2+bc-6a+6=0,求a的取值范围

Answer 1

,当c=0时,可得a=1或者7,带入2式可得只有a=1可满足题意,且此时b=0,是符合题设要求的
当c不等于0时,由第一个式子得b=(a^2-8a+7)/c,带入第二个式子就得到关于a,c的一个等式,将他整理成按C降幂排列的方程得到
c^4+(a^2-14a+13)c^2+(a^2-8a+7)^2=0,显然这是一个关于c^2(将c^2看做一个整体)的一元二次方程,要是该等式成立,则判别式必须大于等于0,且方程有非负实根
由判别式>=0得到(a^2-14a+13)^2-4(a^2-8a+7)^2>=0
这是个平方差公式,分解起来也比较容易,最终整理得结果是
-(a-1)^2(a-9)(a-1)>=0
因为-(a-1)^2