已知集合A＝｛x｜x²－4mx＋2m＋6＝0｝,B＝｛x｜x＜0｝若A∩B=空集是真命题,求实数m的取值范围

Question

已知集合A＝｛x｜x²－4mx＋2m＋6＝0｝,B＝｛x｜x＜0｝若A∩B=空集是真命题,求实数m的取值范围

Answer 1

解设f(x)=x²-4mx+2m+6,A交B不等于空集即f(x)与x轴负半轴有交点,则有
△=16m²-4(2m+6)=8(2m²-m-3)=8(m+1)(2m-3)≥0
解得m≥3/2或m≤-1
f(x)图像是条开口向上,对称轴为x=2m的抛物线
当m≥0时,要使f(x)与x轴负半轴有交点,则有
f(0)=2m+6<0,即m则此时无法取到这样的m
当m<0时,只要△≥0即有f(x)与x轴负半轴有交点
则此时m≤-1