在RT△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P是△ABC内切圆上任意一点,求|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2的最小值应该用圆的参数方程做

Question

在RT△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P是△ABC内切圆上任意一点,求|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
的最小值
应该用圆的参数方程做

Answer 1

建立直角坐标系(两种建立方法,我选一个了)
C为原点,CA是X轴正方向,CB是y轴正方向
有C(0,0) A(3,0) B(0,4)
内切圆半径先算出来
r=面积除以半周长=6/6=1
所以圆心(1,1) 半径1
圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=1
参数方程
x=1+cosθ
y=1+sinθ
|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=(x-3)²+y²+x²+(y-4)²+x²+y²
=3x²+3y²-6x-8y+25
=3(x-1)²+3(y-1)²-2y+19
=22-2y=20-2sinθ≥20-2=18
当θ=π/2 上面取最小值