已知两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证：MN平行平面α.

Question

已知两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证：MN平行平面α.

Answer 1

证法一：
连接AN并延长,则必与平面α相交,设交点为E
又设由相交直线EA和DC所决定的平面为θ,
易知AC和DE是平面θ与两个平行平面的交线,
所以必有AC‖DE.
再由CN=DN,可证得△ACN≌△EDN
从而AN=EN
即点N也是AE的中点,
从而MN是△ABE的中位线.
所以MN‖BE
因为BE是平面α内的一条直线,
所以必有MN‖α
证法二（略述）：
设平面α,β间的距离为h
分别过点A和M作平面α的垂线,然后可证明点M到平面α的距离等于h/2.
再由同理可证点N到平面α的距离也等于h/2.
这样就证明了结论.