f(2-x)+2f(x-3)=x.求f(x)f(x)+2f(-x)=x.求f（x）

Question

f(2-x)+2f(x-3)=x.求f(x) f(x)+2f(-x)=x.求f（x）

Answer 1

第一小题：
我们的思路是,通过适当设置x的值,找到和原方程共轭的方程,即f(x-3)+2f(2-x)=c(x)
再将原方程和这个方程联立即解得f(2-x)或f(x-3),进而得到f(x)的表达式,具体步骤如下：
设2-t=x-3,则t=5-x,用t代替x带入原方程得：
f(2-t)+2f(t-3)=t,把t=5-x带入该式得：f(x-3)+2f(2-x)=5-x.
将f(x-3)+2f(2-x)=5-x与f(2-x)+2f(x-3)=x联立解得：f(x-3)=x-5/3
将y=x+3代入上式得：f(y)=y+4/3,故f(x)=x+4/3
第二小题：
用与第一小题同样的思路,令t=-x,先将t代换原式中的x,得：f(t)+2f(-t)=t
再将t=-x带入该式得：f(-x)+2f(x)=-x.
将f(-x)+2f(x)=-x与f(x)+2f(-x)=x联立解得：f(x)=-x