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已知a>b>0,试求a2+1/(a-b)b的最小值及对应a和b的值.
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已知a>b>0,试求a2+1/(a-b)b的最小值及对应a和b的值.
▼优质解答
答案和解析
a^2+1/(a-b)b
=a^2-4ab+4b^2+ 4ab-4b^2+1/(a-b)b
=a^2-4ab+4b^2+ 4(a-b)b+1/(a-b)b
=a^2+4b^2-4ab+ 4(a-b)b+1/(a-b)b
>=2倍根号（a^2 *4b^2)-4ab + 2倍根号【4(a-b)b*1/(a-b)b】
=4ab-4ab +4
=4
当且仅当a^2=4b^2 且 4(a-b)b=1/(a-b)b时取等号
此时a=2b且 (a-b)b=1/2
得a=根号2,b=二分之根号2
（主要是用了重要不等式和配凑）
=a^2-4ab+4b^2+ 4ab-4b^2+1/(a-b)b
=a^2-4ab+4b^2+ 4(a-b)b+1/(a-b)b
=a^2+4b^2-4ab+ 4(a-b)b+1/(a-b)b
>=2倍根号（a^2 *4b^2)-4ab + 2倍根号【4(a-b)b*1/(a-b)b】
=4ab-4ab +4
=4
当且仅当a^2=4b^2 且 4(a-b)b=1/(a-b)b时取等号
此时a=2b且 (a-b)b=1/2
得a=根号2,b=二分之根号2
（主要是用了重要不等式和配凑）
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