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如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为.(1)求S
题目详情
如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为.
(1)求S与x的函数关系式;____
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/,黄色花草的价格为40元/.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?____
(1)求S与x的函数关系式;____
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/,黄色花草的价格为40元/.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?____
▼优质解答
答案和解析
【分析】(1)连接AC、BD,易证△BEF为等边三角形,从而求出EF的长,在Rt△AEM中求出EM,继而得出EH,可得出S与x的函数关系式.
\n(2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为W,则可得出W关于x的二次函数关系式,利用配方法求最值即可.
\n(2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为W,则可得出W关于x的二次函数关系式,利用配方法求最值即可.
(1)如图,连接AC、BD交于点O.
\n∵花坛为轴对称图形,
\n∴BA=BC,BE=BF.
\n∵∠ABC=60°,
\n∴△ABC、△BEF是等边三角形,
\n∴EF=BE=AB-AE=4-x.
\n在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,
\n∴,
\n∴,
\n故可得.
\n(2)由题知,Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,
\n∴OA=2,OB=2,
\n∴菱形ABCD的面积为.
\n由(1)知矩形EFGH的面积为,
\n∴四个三角形的面积为.
\n设总费用为W元,
\n则
.
\n∵0<x<4,
\n∴当x=2时,W取得最小,,
\n即当x=2时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为元.
\n∵花坛为轴对称图形,
\n∴BA=BC,BE=BF.
\n∵∠ABC=60°,
\n∴△ABC、△BEF是等边三角形,
\n∴EF=BE=AB-AE=4-x.
\n在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,
\n∴,
\n∴,
\n故可得.
\n(2)由题知,Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,
\n∴OA=2,OB=2,
\n∴菱形ABCD的面积为.
\n由(1)知矩形EFGH的面积为,
\n∴四个三角形的面积为.
\n设总费用为W元,
\n则
.
\n∵0<x<4,
\n∴当x=2时,W取得最小,,
\n即当x=2时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为元.
【点评】本题是二次函数的应用,难点在于分别得出EF、EH关于x的表达式,另外要掌握配方法求二次函数的最值也很重要.
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