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已知f(x)=lnx,g(x)=x2-2ax+4a-1,其中a为实常数.(1)若函数f[g(x)]在区间[1,3]上为单调函数,求a的取值范围;(2)若函数g[f(x)]在区间[1,e3]上的最小值为-2,求a的值.
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已知f(x)=ln x,g(x)=x2-2ax+4a-1,其中a为实常数.
(1)若函数f[g(x)]在区间[1,3]上为单调函数,求a的取值范围;
(2)若函数g[f(x)]在区间[1,e3]上的最小值为-2,求a的值.
(1)若函数f[g(x)]在区间[1,3]上为单调函数,求a的取值范围;
(2)若函数g[f(x)]在区间[1,e3]上的最小值为-2,求a的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为f(x)=lnx为增函数,则当x∈[1,3]时,g(x)为单调函数,且g(x)>0.(1分)
①若g(x)在[1,3]上为增函数,则
,得0<a≤1.(3分)
②若g(x)在[1,3]上为减函数,则
,得3≤a<4.(5分)
综上,a的取值范围是(0,1]∪[3,4).(6分)
(2)由已知,g[f(x)]=ln2x-2aln x+4a-1.
令t=ln x,h(t)=t2-2at+4a-1=(t-a)2-a2+4a-1.当x∈[1,e3]时,t∈[0,3].(8分)
①若a<0,则h(t)在[0,3]上为增函数,h(t)min=h(0)=4a-1.
令4a-1=-2,得a=-
.(9分)
②若0≤a≤3,则h(t)min=h(a)=-a2+4a-1.
令-a2+4a-1=-2,则a2-4a-1=0,解得a=2±
∉[0,3],不合要求.(10分)
③若a>3,则h(t)在[0,3]上为减函数,h(t)min=h(3)=8-2a.
令8-2a=-2,得a=5.(11分)
综上,a=-
或a=5.(12分)
①若g(x)在[1,3]上为增函数,则
|
②若g(x)在[1,3]上为减函数,则
|
综上,a的取值范围是(0,1]∪[3,4).(6分)
(2)由已知,g[f(x)]=ln2x-2aln x+4a-1.
令t=ln x,h(t)=t2-2at+4a-1=(t-a)2-a2+4a-1.当x∈[1,e3]时,t∈[0,3].(8分)
①若a<0,则h(t)在[0,3]上为增函数,h(t)min=h(0)=4a-1.
令4a-1=-2,得a=-
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②若0≤a≤3,则h(t)min=h(a)=-a2+4a-1.
令-a2+4a-1=-2,则a2-4a-1=0,解得a=2±
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③若a>3,则h(t)在[0,3]上为减函数,h(t)min=h(3)=8-2a.
令8-2a=-2,得a=5.(11分)
综上,a=-
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