如图，过圆外一点P分别作O的两条切线PA，PB和一条割线PDC，记PA的中点为M，连接CM与AB交于点E．求证：DE∥PA．

Question

如图，过圆外一点P分别作 O的两条切线PA，PB和一条割线PDC，记PA的中点为M，连接CM与AB交于点E．求证：DE∥PA．

Answer 1

证明：设AB，CD的交点为F，连接BC，AD，AC
则由切割线定理知△PBD∽△PCB，△PAD∽△PCA
即有(PB)/(PC)=(PD)/(DB)=(BD)/(BC)，(PA)/(PC)=(PD)/(PA)=(AD)/(AC)，
又PA=PB
∴(PB2)/(PC2)=(BD)/(BC)•(AD)/(AC)=(BD)/(BC)•(AD)/(BC)=(DF)/(AF)•(DF)/(BF)=(DF2)/(DF•CF)=(DF)/(CF)
而PB²=PD•PC，∴(PD)/(PC)=(DF)/(CF)
∴(DF)/(PD)=(CF)/(PC)
又C，E，M为△APF的割线，M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM)/(MP)•(PC)/(CF)•(FE)/(EA)=1
可得(FE)/(EA)=(CF)/(PC)=(DF)/(PD)，∴DE∥AP