用质量为m、电阻为R的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′a′．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的

Question

用质量为m、电阻为R的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′a′．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa′边和bb′边都处在磁极之间，极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．求：

（1）方框下落的最大速度v_m（设磁场区域在数值方向足够长）；
（2）当方框下落的加速度为(g)/(2)时，求方框的发热功率P；
（3）已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为v_t（v_t＜v_m）．若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I₀在该框内产生的热相同，求恒定电流I₀的表达式．

Answer 1

（1）方框下落速度为v时，产生的感应电动势E=B•2L•v  ①
方框中的感应电流 I＝(E)/(R)  ②
方框下落过程，受到方向竖直向下的重力G和方向竖直向上的安培力F，分别有 G=mg   ③
  F=BI•2L  ④
当F=G时，方框达到最大速度，即v=v_m   ⑤
则由上述各式可解得方框下落的最大速度 vm＝(mgR)/(4B2L2)  ⑥
（2）方框下落加速度为(g)/(2)时，有 mg−BI•2L＝m(g)/(2)  ⑦
方框的发热功率 P=I²R  ⑧
由⑦⑧式可解得：P＝(R)/(16)((mg)/(BL))2 ⑨
（3）根据能量守恒定律，有 mgh＝(1)/(2)mvt2+

I

2 0

Rt  ⑩
即  I0＝√((m)/(2Rt)(2gh−v2t)) （11）
答：
（1）方框下落的最大速度v_m为(mgR)/(4B2L2)；
（2）方框的发热功率P为(R)/(16)((mg)/(BL))2；
（3）恒定电流I₀的表达式为I0＝√((m)/(2Rt)(2gh−v2t))．