求xx0+yy0=r^2的推导过程1,过圆O:x^2+y^2=r^2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是xxo+yy0=r^22,过圆O:x^2+y^2=r^2外一点P(x0,y0)做圆的两条切线,切点为A,B,则直线AB的方程是xx0+yy0=r^2求以上两题的推导过程!

Question

求xx0+yy0=r^2的推导过程
1,过圆O:x^2+y^2=r^2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是xxo+yy0=r^2
2,过圆O:x^2+y^2=r^2外一点P(x0,y0)做圆的两条切线,切点为A,B,则直线AB的方程是xx0+yy0=r^2
求以上两题的推导过程!

Answer 1

由切线的定义,切线与切点和圆心的连线相互垂直.而相互垂直的直线斜率积=-1,得到切线斜率k=-1/(y0/x0)=-x0/y0,切线又过点P,列出点斜式：y-y0=（-x0/y0）(x-x0),整理得到xx0+yy0=x0^2+y0^2=r（关于斜率不存在的情况特殊讨论即可,非常简单）
设A(x1,y1),B(x2,y2),由1中已经证明的,
切点为A的切线方程xx1+yy1=r^2,P在该直线上,固有x0x1+y0y1=r^2……①
切点为B的切线方程xx2+yy2=r^2,P在该直线上,固有x0x2+y0y2=r^2……②
仔细观察①②,发现A(x1,y1)满足方程xx0+yy0=r^2,
B(x2,y2)也满足方程xx0+yy0=r^2,
而如果AB同时满足一个直线方程,由两点确定一线,该直线就是AB.
所以AB：xx0+yy0=r^2
PS：1.该结论对椭圆有相似的结论,对二次曲线亦有相似结论.
        2.对第二个问题的证明方法我个人非常喜欢.