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已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)
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已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.
(Ⅰ)确定a,b的值;
(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;
(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.
(Ⅰ)确定a,b的值;
(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;
(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)
∴f′(x)=2ae2x+2be-2x-c,
由f′(x)为偶函数,可得2(a-b)(e2x-e-2x)=0,
即a=b,
又∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c,
即f′(0)=2a+2b-c=4-c,
故a=b=1;
(Ⅱ)当c=3时,f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2
-3=1>0恒成立,
故f(x)在定义域R为均增函数;
(Ⅲ)由(Ⅰ)得f′(x)=2e2x+2e-2x-c,
而2e2x+2e-2x≥2
=4,当且仅当x=0时取等号,
当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值;
当c>4时,令t=e2x,方程2t+
-c=0的两根均为正,
即f′(x)=0有两个根x1,x2,
当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,当x∈(-∞x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,
故当x=x1,或x=x2时,f(x)有极值,
综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,+∞).
∴f′(x)=2ae2x+2be-2x-c,
由f′(x)为偶函数,可得2(a-b)(e2x-e-2x)=0,
即a=b,
又∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c,
即f′(0)=2a+2b-c=4-c,
故a=b=1;
(Ⅱ)当c=3时,f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2
2e2x•2e-2x |
故f(x)在定义域R为均增函数;
(Ⅲ)由(Ⅰ)得f′(x)=2e2x+2e-2x-c,
而2e2x+2e-2x≥2
2e2x•2e-2x |
当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值;
当c>4时,令t=e2x,方程2t+
2 |
t |
即f′(x)=0有两个根x1,x2,
当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,当x∈(-∞x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,
故当x=x1,或x=x2时,f(x)有极值,
综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,+∞).
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