已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x求x∈[-2,0）时,f(x)的表达式

Question

已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x
求x∈[-2,0）时,f(x)的表达式

Answer 1

（1） x∈[-1,0)
则 -x∈[0,1]
∴ f(-x)=-2x
∵ f(x)是奇函数,
∴ f(x)=-f(-x)=2x
（2） x∈[-2,-1]
2+x∈[0,1]
则f(2+x)=2(2+x)=4+2x
∵ f(1+x)=f(1-x)
将x换成x+1
则 f(x+2)=f(-x)=-f(x)
则 f(x)=-f(2+x)=-4-2x