已知函数f(x)＝x+log2x3−x(x∈(0，3))（1）求证：f（x）+f（3-x）为定值．（2）记S(n)＝12n2n−1i＝1f(1+i2n)(n∈N*)，求S（n）．（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积

Question

已知函数f(x)＝x+log2(x)/(3−x)(x∈(0，3))
（1）求证：f（x）+f（3-x）为定值．
（2）记S(n)＝(1)/(2n)

2n−1

i＝1

f(1+(i)/(2n))(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积为S，试探究S（n）与S的大小关系．

Answer 1

解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）
=（x+log2(x)/(3−x)）+[（3-x）+log2(3−x)/(x)]
=（x+3-x）+log2(x)/(3−x)•(3−x)/(x)
=3+log2(x)/(3−x)•(3−x)/(x)=3+0=3；
（2）S(n)＝(1)/(2n)

2n−1

i＝1

f(1+(i)/(2n))(n∈N*)
=(1)/(2n)[f(1+(1)/(2n))+f(1+(2)/(2n))+…+f(1+(2n−1)/(2n))]①，
Sn＝(1)/(2n)[f(1+(2n−1)/(2n))+f(1+(2n−2)/(2n))+…+f(1+(1)/(2n))]②，
由（1）知，f(1+(1)/(2n))+f(1+(2n−1)/(2n))=3，f(1+(2)/(2n))+f(1+(2n−2)/(2n))=3，…
①+②得：2Sn＝(1)/(作业帮用户2017-11-12举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）把x及3-x分别代入已知函数即可求解f（x）+f（3-x）的值；（2）由（1）知，f(1+(1)/(2n))+f(1+(2n−1)/(2n))=3，f(1+(2)/(2n))+f(1+(2n−2)/(2n))=3，…，结合此规律，可考虑利用倒序相加可求和；（3）由f（x）=x+log2((3)/(3−x)−1)为增函数，结合（1）知函数y=f（x）的图象关于点（(3)/(2)，(3)/(2)）对称，记点A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封闭图形的面积等于△ABC的面积，即S=(3)/(2)，而，可判断名师点评本题考点：数列与函数的综合．考点点评：本题以函数的基本运算为基本载体，主要考查了数列求和的倒序相加求解和的方法的应用，解题的关键是寻求题目的规律扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)