已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),(Ⅰ)求f(1),f(-1)的值;(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(Ⅲ
已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y), |
(Ⅰ)因为f(xy)=f(x)+f(y), 令x=y=1, 得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0; 再令x=y=-1, 得f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0; (Ⅱ)因为f(xy)=f(x)+f(y), 令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x), 又函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞), 所以函数f(x)为偶函数。 (Ⅲ)因为f(4)=1, 所以 , 所以 , 由 ,① 因为f(x)在D上是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是减函数, 当 时, 不等式① , 解得: ; 当 时,f(-64)=f(64)=3, 所以不等式① , 在不等式 中, 因为 , 所以 , 解得: ; 所以x的取值范围是 。 |
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