设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（）A．若limx→0f(x)x存在，则f（0）=0B．若limx→0f(x)+f(−x)x存在，则f（0）=0C．若limx→0f(x)x存在，则f′（0）存在D．若limx→0f(x)−f(−x)x存在

Question

设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是（　　）

A．若

lim

x→0

(f(x))/(x)存在，则f（0）=0
B．若

lim

x→0

(f(x)+f(−x))/(x)存在，则f（0）=0
C．若

lim

x→0

(f(x))/(x)存在，则f′（0）存在
D．若

lim

x→0

(f(x)−f(−x))/(x)存在，则f′（0）存在

Answer 1

首先，由函数f（x）在x=0处连续，有

lim

x→0

f(x)＝f(0)，
所以，

lim

x→0

(f(x))/(x)→(f(0))/(0)．
（1）选项A．
若

lim

x→0

(f(x))/(x)存在，也就是x→0时，(f(0))/(0)的极限存在，
如果f（0）≠0，则

lim

x→0

(f(x))/(x)＝∞，这样一来，

lim

x→0

(f(x))/(x)的极限也就不存在了，所以f（x）=0，
故选项A正确．
（2）选项B．
根据选项A的分析，同理选项B，由于

lim

x→0

[f(x)+f(−x)]＝2f(0)，因而也是成立的，
故选项B正确．
（3）选项C．
由选项A，我们知道f（0）=0，
所以

lim

x→0

(f(x))/(x)＝

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)＝f′（0），故f′（0）存在，
故选项C正确．
（4）选项D．
我们通过举反例，比如：f（x）=|x|，显然满足题目条件，
但f（x）在x=0处不可导，故选项D错误．
故选：D．